第二次

📅Date: 2024-06-30 📚Category: 数学 📑Word: 1.0k

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第二次作业

题目 P131/1

设 \(A=\{1,2,3\},B=\{a,b\}\), 求

(1)\(A\times B\); (2)\(B\times A\); (3)\(B\times B\); (4)\(2^B\times B\).

解:

  • (1) \(A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}\);
    (2) \(B\times A=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)\}\);
    (3) \(B\times B=\{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\}\);
    (4) \(2^B\times B=\{(\varnothing,a),(\varnothing,b),(\{a\},a),(\{a\},b),(\{b\},a),(\{b\},b),(\{a,b\},a),(\{a,b\},b)\}\).

题目 P131/3

证明 \((A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)\).

证明

  • \((a,c) \in (A\cap B)\times (C\cap D)\Leftrightarrow a\in A\cap B,c \in C\cap D\\ \Leftrightarrow (a,c) \in A\times C\wedge (a,c) \in B\times D \Leftrightarrow (a,c) \in (A\times C)\cap (B\times D)\)

题目 P131/5

设 \(A=\{1,2,3\},B=\{a\}\), 求出所有 \(A\) 到 \(B\) 的二元关系.

解:

  • 由 \(R\subseteq A\times B=\{(1,a),(2,a),(3,a)\}\)

    得 \(R:\varnothing,\{(1,a)\},\{(2,a)\},\{(3,a)\},\{(1,a),(2,a)\}, \\ \{(1,a),(3,a)\},\{(2,a),(3,a)\},\{(1,a),(2,a),(3,a)\}\).

题目 P132/6

设 \(A=\{1,2,3,4\},R_1=\{(1,3),(2,2),(3,4)\},R_2=\{(1,4),(2,3),(3,4)\}\). 求 \(R_1\cup R_2,R_1\cap R_2,R_2\backslash R_1,R_2',\mathscr{D}(R_1),\mathscr{D}(R_2),\mathscr{R}(R_1),\mathscr{R}(R_2),\mathscr{D}(R_1\cup R_2),\mathscr{R}(R_1\cap R_2)\).

解:

  • \(R_1\cup R_2=\{(1,3),(2,2),(3,4),(1,4),(2,3)\}\);
  • \(R_1\cap R_2=\{(3,4)\}\);
  • \(R_2\backslash R_1=\{(1,4),(2,3)\}\);
  • \(R_2'=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\}\);
  • \(\mathscr{D}(R_1)=\{1,2,3\}\);
  • \(\mathscr{D}(R_2)=\{1,2,3\}\);
  • \(\mathscr{R}(R_1)=\{3,2,4\}\);
  • \(\mathscr{R}(R_2)=\{4,3\}\);
  • \(\mathscr{D}(R_1\cup R_2)=\{1,2,3\}\);
  • \(\mathscr{R}(R_1\cap R_2)=\{4\}\);

题目 P132/7

设 \(R_1\) 和 \(R_2\) 是从集合 \(A\) 到 \(B\) 得二元关系, 证明

(1) \(\mathscr{D}(R_1\cup R_2)=\mathscr{D}(R_1)\cup\mathscr{D}(R_2)\);
(2) \(\mathscr{R}(R_1 \cap R_2)\subseteq \mathscr{R}(R_1)\cap \mathscr{R}{R_2}\);

证明

  • \(a\in \mathscr{D}(R_1 \cup R_2) \Leftrightarrow \exists b \in B,s.t. (a,b) \in R_1\cup R_2\Leftrightarrow (a,b)\in R_1 \vee (a,b)\in R_2 \Leftrightarrow a\in\mathscr{D}(R_1)\cup\mathscr{D}(R_2)\)

    \(b\in \mathscr{R}(R_1\cap R_2) \Rightarrow \exists a\in A,s.t.(a,b) \in R_1\cap R_2 \Rightarrow (a,b) \in R_1 \wedge (a,b) \in R_2 \Rightarrow b \in \mathscr{R}(R_1)\wedge \mathscr{R}{R_2}\Rightarrow \mathscr{R}(R_1 \cap R_2)\subseteq \mathscr{R}(R_1) \cap \mathscr{R}(R_2)\).

题目 P132/9

定义在整数集合 \(\mathbb Z\) 上得相等关系, '\(\leqslant\)' 关系, '<' 关系, 全域关系, 空关系, 是否具有表中所指的性质, 请用 Y 或 N 填表.

$
\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& \text{自反的} & \text{反自反的} & \text{对称的} & \text{反对称的} & \text{传递的} \\hline

\text{相等关系} & Y & N & Y & N & Y \\\hline
\leqslant \text{关系}  & Y & N & N & N & Y \\\hline
< \text{关系} & N & Y & N & Y & Y \\\hline
\text{全域关系} & Y & N & Y & N & Y \\\hline
\text{空关系} & N & Y & Y  & Y & Y \\\hline

\end{array}
$

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